Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование произведений

Шаг 1. Найдём производную по правилу произведения.

Дана функция $y = (3 - x)e^{3-x}$. Применим правило $(uv)' = u'v + uv'$:

• $u = 3 - x$, тогда $u' = -1$
• $v = e^{3-x}$, тогда $v' = e^{3-x} \cdot (-1) = -e^{3-x}$

Получаем: $$y' = (-1) \cdot e^{3-x} + (3-x) \cdot (-e^{3-x}) = -e^{3-x} - (3-x)e^{3-x}$$

Шаг 2. Упростим производную.

Вынесем общий множитель $-e^{3-x}$: $$y' = -e^{3-x}[1 + (3-x)] = -e^{3-x}(4-x) = (x-4)e^{3-x}$$

Шаг 3. Найдём критические точки.

Производную приравняем к нулю: $$(x-4)e^{3-x} = 0$$

Поскольку $e^{3-x} > 0$ при всех $x$, остаётся: $$x - 4 = 0 \implies x = 4$$

Шаг 4. Определим характер критической точки.

Анализируем знак $y' = (x-4)e^{3-x}$:

• При $x < 4$: множитель $(x-4) < 0$, экспонента $e^{3-x} > 0$, значит $y' < 0$ (функция убывает)
• При $x > 4$: множитель $(x-4) > 0$, экспонента $e^{3-x} > 0$, значит $y' > 0$ (функция возрастает)

Производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому $x = 4$ — точка минимума.