Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование произведений

Шаг 1. Найдём производную по правилу произведения.

Дана функция $y = (x + 16)e^{x - 16}$. Применим правило: $(uv)' = u'v + uv'$.

Здесь $u = x + 16$, $v = e^{x - 16}$.

$u' = 1$, $v' = e^{x - 16}$ (производная показательной функции).

Получаем: $$y' = 1 \cdot e^{x - 16} + (x + 16) \cdot e^{x - 16}$$

Шаг 2. Упростим производную.

Вынесем общий множитель $e^{x - 16}$ за скобки: $$y' = e^{x - 16}(1 + x + 16) = e^{x - 16}(x + 17)$$

Шаг 3. Найдём критические точки.

Приравняем производную к нулю: $$e^{x - 16}(x + 17) = 0$$

Так как показательная функция $e^{x - 16} > 0$ при любом $x$, то: $$x + 17 = 0 \implies x = -17$$

Шаг 4. Определим характер экстремума.

Проанализируем знак производной:

• При $x < -17$: $x + 17 < 0$, поэтому $y' < 0$ (функция убывает)
• При $x > -17$: $x + 17 > 0$, поэтому $y' > 0$ (функция возрастает)

Производная меняет знак с минуса на плюс, значит, $x = -17$ — точка минимума.