Задача 26713. Исследование произведений

Нужно найти точку максимума, поэтому сначала вычислим производную функции $y = (x + 16)e^{16-x}$.

Применим правило произведения: $[uv]' = u'v + uv'$.

Здесь $u = x + 16$, тогда $u' = 1$.

$v = e^{16-x}$, тогда $v' = e^{16-x} \cdot (-1) = -e^{16-x}$ (по цепному правилу).

Получаем: $$y' = 1 \cdot e^{16-x} + (x + 16) \cdot (-e^{16-x}) = e^{16-x} - (x + 16)e^{16-x}$$

Вынесем общий множитель $e^{16-x}$: $$y' = e^{16-x}[1 - (x + 16)] = e^{16-x}(-x - 15) = -(x + 15)e^{16-x}$$

Приравняем производную к нулю: $$-(x + 15)e^{16-x} = 0$$

Поскольку $e^{16-x} > 0$ для всех $x$, то: $$x + 15 = 0 \Rightarrow x = -15$$

Определим характер критической точки через знак производной.

При $x < -15$: выражение $-(x + 15)$ положительно, значит $y' > 0$ (функция возрастает).

При $x > -15$: выражение $-(x + 15)$ отрицательно, значит $y' < 0$ (функция убывает).

Производная меняет знак с плюса на минус, поэтому $x = -15$ — точка максимума.