Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование произведений

Шаг 1. Найдём производную произведения

Дана функция $y = (9-x)e^{x+9}$. Применяем правило произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Здесь $u = 9-x$ и $v = e^{x+9}$.

$u' = -1$, $v' = e^{x+9}$ (производная экспоненты)

$$y' = (-1) \cdot e^{x+9} + (9-x) \cdot e^{x+9}$$

Шаг 2. Упростим производную

Вынесем общий множитель $e^{x+9}$ за скобки (он всегда положителен):

$$y' = e^{x+9} \left[-1 + (9-x)\right] = e^{x+9}(8-x)$$

Шаг 3. Найдём критические точки

Производная равна нулю, когда один из множителей равен нулю:

• $e^{x+9} \neq 0$ ни при каких $x$
• $8 - x = 0 \Rightarrow x = 8$

Шаг 4. Определим характер критической точки

Строим знаковую диаграмму производной:

• При $x < 8$: множитель $(8-x) > 0$, поэтому $y' > 0$ (функция растёт)
• При $x > 8$: множитель $(8-x) < 0$, поэтому $y' < 0$ (функция убывает)

Производная меняет знак с плюса на минус — это точка максимума.