Задача 26723. Исследование произведений

Шаг 1: Найдём производную функции.

Функция имеет вид произведения: $y = (3x^2 - 36x + 36) \cdot e^{x-36}$

Применяем правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

• $u = 3x^2 - 36x + 36 \Rightarrow u' = 6x - 36$
• $v = e^{x-36} \Rightarrow v' = e^{x-36}$

$$y' = (6x - 36)e^{x-36} + (3x^2 - 36x + 36)e^{x-36}$$

Шаг 2: Упростим производную.

Вынесем общий множитель $e^{x-36}$: $$y' = e^{x-36}(6x - 36 + 3x^2 - 36x + 36) = e^{x-36}(3x^2 - 30x)$$

Вынесем $3x$ из скобки: $$y' = 3x(x - 10)e^{x-36}$$

Шаг 3: Найдём критические точки.

Производная равна нулю, когда один из множителей равен нулю:

• $3x = 0 \Rightarrow x = 0$
• $x - 10 = 0 \Rightarrow x = 10$
• $e^{x-36} > 0$ для всех $x$ (экспонента никогда не равна нулю)

Критические точки: $x = 0$ и $x = 10$

Шаг 4: Определим знаки производной.

Проанализируем знак $y' = 3x(x-10)e^{x-36}$ на интервалах:

• При $x < 0$: произведение $3x(x-10) = (-)·(-) = (+)$, значит $y' > 0$ — функция возрастает
• При $0 < x < 10$: произведение $3x(x-10) = (+)·(-) = (-)$, значит $y' < 0$ — функция убывает
• При $x > 10$: произведение $3x(x-10) = (+)·(+) = (+)$, значит $y' > 0$ — функция возрастает

Вывод: При переходе через $x = 10$ производная меняет знак с минуса на плюс, то есть функция переходит от убывания к возрастанию. Это признак точки минимума.