Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование произведений

Для поиска наибольшего значения функции на отрезке найдём её производную, используя правило произведения.

Шаг 1. Вычисление производной

Для функции $y = (8 - x)e^{x-7}$ применим правило: $(uv)' = u'v + uv'$, где $u = 8 - x$ и $v = e^{x-7}$.

$$y' = (8-x)' \cdot e^{x-7} + (8-x) \cdot (e^{x-7})' = -e^{x-7} + (8-x)e^{x-7}$$

Вынесем общий множитель $e^{x-7}$:

$$y' = e^{x-7}(-1 + 8 - x) = (7-x)e^{x-7}$$

Шаг 2. Нахождение критических точек

Производная равна нулю, когда $(7-x)e^{x-7} = 0$. Поскольку показательная функция никогда не равна нулю, получаем:

$$7 - x = 0 \Rightarrow x = 7$$

Точка $x = 7$ лежит внутри отрезка $[3; 10]$.

Шаг 3. Анализ знаков производной

• При $x < 7$: $(7-x) > 0$ и $e^{x-7} > 0$, поэтому $y' > 0$ — функция возрастает
• При $x > 7$: $(7-x) < 0$ и $e^{x-7} > 0$, поэтому $y' < 0$ — функция убывает

Следовательно, $x = 7$ — точка максимума функции на отрезке.

Шаг 4. Вычисление наибольшего значения

$$y(7) = (8-7)e^{7-7} = 1 \cdot e^0 = 1 \cdot 1 = 1$$