Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование произведений

Для нахождения точки максимума найдём производную функции $y = (x^2 - 10x + 10)e^{5-x}$ по правилу произведения:

$$y' = (x^2 - 10x + 10)' \cdot e^{5-x} + (x^2 - 10x + 10) \cdot (e^{5-x})'$$

Вычислим отдельные части: $(x^2 - 10x + 10)' = 2x - 10$ и $(e^{5-x})' = -e^{5-x}$.

Подставляем: $$y' = (2x - 10)e^{5-x} - (x^2 - 10x + 10)e^{5-x}$$

Вынесем общий множитель $e^{5-x}$ (он всегда положителен): $$y' = e^{5-x}[(2x - 10) - (x^2 - 10x + 10)]$$

Упростим выражение в скобках: $$y' = e^{5-x}[2x - 10 - x^2 + 10x - 10] = e^{5-x}[-x^2 + 12x - 20]$$

Вынесем минус и разложим квадратный трёхчлен на множители: $$y' = -e^{5-x}(x^2 - 12x + 20) = -e^{5-x}(x - 2)(x - 10)$$

Найдём нули производной: $x = 2$ и $x = 10$ (множитель $e^{5-x}$ никогда не равен нулю).

Анализируем знаки производной на интервалах:

• При $x < 2$: оба множителя $(x-2)$ и $(x-10)$ отрицательны, произведение положительно, но перед ним минус, поэтому $y' < 0$
• При $2 < x < 10$: $(x-2) > 0$, $(x-10) < 0$, произведение отрицательно, с минусом получаем $y' > 0$
• При $x > 10$: оба множителя положительны, произведение положительно, с минусом $y' < 0$

Производная меняет знак с плюса на минус в точке $x = 10$, это точка максимума.