Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование произведений

Найдём производную функции, используя правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Здесь $u = x^2 - 8x + 8$ и $v = e^{2-x}$.

Вычислим:

• $u' = 2x - 8$
• $v' = e^{2-x} \cdot (-1) = -e^{2-x}$

По правилу произведения: $$y' = (2x - 8)e^{2-x} + (x^2 - 8x + 8) \cdot (-e^{2-x})$$

Вынесем $e^{2-x}$ за скобки (множитель, который никогда не равен нулю): $$y' = e^{2-x}[(2x - 8) - (x^2 - 8x + 8)] = e^{2-x}(-x^2 + 10x - 16)$$

Найдём критические точки, приравняв производную к нулю. Поскольку $e^{2-x} \neq 0$, нужно решить: $$-x^2 + 10x - 16 = 0$$ $$x^2 - 10x + 16 = 0$$

По теореме Виета или через дискриминант: $x = 2$ или $x = 8$.

На отрезке $[1; 7]$ только $x = 2$ является критической точкой.

Проверим знак производной: при $x < 2$ множитель $(-x^2 + 10x - 16) > 0$, при $x > 2$ — отрицателен. Значит, в точке $x = 2$ функция имеет локальный минимум.

Вычислим значения на концах отрезка и в критической точке:

• $y(1) = (1 - 8 + 8)e^{1} = e > 0$
• $y(2) = (4 - 16 + 8)e^{0} = -4 \cdot 1 = -4$
• $y(7) = (49 - 56 + 8)e^{-5} = e^{-5} > 0$

Наименьшее значение на отрезке равно $-4$.