Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование произведений

Шаг 1. Найдём производную функции.

Дана функция $y = (8 - x)e^{9-x}$. Это произведение двух функций, поэтому используем правило: $(uv)' = u'v + uv'$.

Здесь $u = 8 - x$, поэтому $u' = -1$.

$v = e^{9-x}$, поэтому $v' = e^{9-x} \cdot (-1) = -e^{9-x}$ (по цепному правилу).

Получаем: $$y' = (-1) \cdot e^{9-x} + (8-x) \cdot (-e^{9-x}) = -e^{9-x} - (8-x)e^{9-x}$$

Вынесем $e^{9-x}$ за скобки: $$y' = e^{9-x}[-1 - (8-x)] = e^{9-x}(x - 9)$$

Шаг 2. Найдём критические точки.

Приравняем производную к нулю: $e^{9-x}(x - 9) = 0$.

Поскольку $e^{9-x} > 0$ при всех $x$, то $x - 9 = 0$, откуда $x = 9$.

Эта точка лежит в отрезке $[3; 10]$.

Шаг 3. Определим характер экстремума.

На интервале $(3; 9)$: $x - 9 < 0$, значит $y' < 0$ — функция убывает.

На интервале $(9; 10)$: $x - 9 > 0$, значит $y' > 0$ — функция возрастает.

В точке $x = 9$ производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому это точка минимума.

Шаг 4. Вычислим значение в критической точке.

$$y(9) = (8 - 9)e^{9-9} = (-1) \cdot e^0 = -1 \cdot 1 = -1$$

Так как минимум расположен внутри отрезка и функция убывает слева от него и возрастает справа, наименьшее значение на отрезке — это значение в точке минимума.