Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование произведений

Найдём производную функции $y = (x-2)^2 e^{x-2}$, используя правило произведения.

Шаг 1: Вычислим производную.

$y' = [(x-2)^2]' \cdot e^{x-2} + (x-2)^2 \cdot [e^{x-2}]'$

Производная $(x-2)^2$ равна $2(x-2)$, производная $e^{x-2}$ равна $e^{x-2}$.

$y' = 2(x-2)e^{x-2} + (x-2)^2 e^{x-2}$

Шаг 2: Вынесем общий множитель.

$y' = (x-2)e^{x-2}[2 + (x-2)] = (x-2)e^{x-2} \cdot x = x(x-2)e^{x-2}$

Экспонента всегда положительна, поэтому знак производной зависит только от множителя $x(x-2)$.

Шаг 3: Найдём критические точки на $[1;4]$.

Производная равна нулю при $x = 0$ или $x = 2$. На отрезке $[1;4]$ критическая точка только $x = 2$.

Шаг 4: Определим характер критической точки.

При $1 \leq x < 2$: множитель $x > 0$, $(x-2) < 0$, поэтому $y' < 0$ — функция убывает.

При $2 < x \leq 4$: множитель $x > 0$, $(x-2) > 0$, поэтому $y' > 0$ — функция возрастает.

Значит, $x = 2$ — точка минимума.

Шаг 5: Вычислим значение в точке минимума.

$y(2) = (2-2)^2 e^{2-2} = 0 \cdot e^0 = 0$

Это наименьшее значение на отрезке.