Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование произведений

Найдём производную функции $y=(x+3)^2e^{-3-x}$ по правилу произведения.

Обозначим $u=(x+3)^2$ и $v=e^{-3-x}$. Тогда $u'=2(x+3)$ и $v'=-e^{-3-x}$.

По формуле $(uv)'=u'v+uv'$ получаем: $$y'=2(x+3)e^{-3-x}+(x+3)^2\cdot(-e^{-3-x})$$

Вынесем общий множитель $e^{-3-x}$: $$y'=e^{-3-x}[2(x+3)-(x+3)^2]$$

Вынесем $(x+3)$ из скобок: $$y'=e^{-3-x}(x+3)[2-(x+3)]=(x+3)(2-x-3)e^{-3-x}=-(x+3)(x+1)e^{-3-x}$$

Поскольку $e^{-3-x}>0$ для всех $x$, нули производной определяются уравнением: $$(x+3)(x+1)=0$$

Отсюда $x=-3$ или $x=-1$. Обе точки лежат в отрезке $[-5;-1]$.

Исследуем знак производной:

• При $x\in[-5,-3)$: $(x+3)<0$ и $(x+1)<0$, поэтому $y'>0$ — функция возрастает.
• При $x\in(-3,-1)$: $(x+3)>0$ и $(x+1)<0$, поэтому $y'<0$ — функция убывает.
• При $x=-1$: производная меняет знак с отрицательного на положительный (здесь минимум справа от отрезка).

На отрезке $[-5,-1]$ минимум достигается в точке $x=-3$: $$y(-3)=(-3+3)^2e^{-3-(-3)}=0^2\cdot e^0=0$$