Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование произведений

Шаг 1. Найдём производную, используя правило произведения.

Для функции $y = (3x^2 - 36x + 36)e^{x-10}$ применяем формулу $(uv)' = u'v + uv'$:

• $u = 3x^2 - 36x + 36$, тогда $u' = 6x - 36$
• $v = e^{x-10}$, тогда $v' = e^{x-10}$

Получаем: $$y' = (6x - 36)e^{x-10} + (3x^2 - 36x + 36)e^{x-10}$$

Шаг 2. Вынесем общий множитель.

Вынесем $e^{x-10}$ за скобки (он всегда положителен): $$y' = e^{x-10}[(6x - 36) + (3x^2 - 36x + 36)]$$ $$y' = e^{x-10}[3x^2 - 30x]$$ $$y' = 3x(x - 10)e^{x-10}$$

Шаг 3. Найдём критические точки на [8; 11].

Производная равна нулю, когда $3x(x - 10)e^{x-10} = 0$. Так как $e^{x-10} \neq 0$, получаем $x = 0$ или $x = 10$.

На отрезке $[8; 11]$ только $x = 10$ является критической точкой.

Шаг 4. Определим характер экстремума.

Проверим знаки производной:

• При $x \in [8; 10)$: множитель $(x - 10) < 0$, а $3x > 0$, поэтому $y' < 0$ — функция убывает
• При $x \in (10; 11]$: множитель $(x - 10) > 0$, а $3x > 0$, поэтому $y' > 0$ — функция возрастает

В точке $x = 10$ функция имеет минимум.

Шаг 5. Вычислим значение в точке минимума.

$$y(10) = (3 \cdot 100 - 36 \cdot 10 + 36)e^{10-10}$$ $$y(10) = (300 - 360 + 36)e^0$$ $$y(10) = (-24) \cdot 1 = -24$$