Задача 282861. Исследование произведений

Шаг 1. Найдём производную функции

Дана $y = (x+3)^2(x+5) - 1$.

Применяем правило произведения к $(x+3)^2(x+5)$: $$y' = [(x+3)^2]' \cdot (x+5) + (x+3)^2 \cdot [(x+5)]'$$

Вычисляем:

• $[(x+3)^2]' = 2(x+3)$
• $[(x+5)]' = 1$
• $[1]' = 0$

Получаем: $$y' = 2(x+3)(x+5) + (x+3)^2 = (x+3)[2(x+5) + (x+3)]$$ $$y' = (x+3)(2x + 10 + x + 3) = (x+3)(3x+13)$$

Шаг 2. Найдём критические точки на отрезке $[-4; -1]$

Решаем $(x+3)(3x+13) = 0$:

• $x = -3$ или $x = -\frac{13}{3} \approx -4,33$

На отрезке $[-4; -1]$ лежит только $x = -3$ (точка $-\frac{13}{3} < -4$ выходит за границы).

Шаг 3. Определим характер точки $x = -3$

Проверим знаки производной:

• При $x \in [-4; -3)$: $(x+3) < 0$ и $(3x+13) > 0$ (например, при $x = -3,5$: $3(-3,5)+13 = 2,5 > 0$), значит $y' < 0$ — функция убывает.
• При $x \in (-3; -1]$: $(x+3) > 0$ и $(3x+13) > 0$, значит $y' > 0$ — функция возрастает.

В точке $x = -3$ производная меняет знак с минуса на плюс, это локальный минимум.

Шаг 4. Найдём наименьшее значение

Вычислим $y(-3)$: $$y(-3) = (-3+3)^2(-3+5) - 1 = 0^2 \cdot 2 - 1 = -1$$

Проверим значения на концах отрезка для уверенности:

• $y(-4) = (-1)^2 \cdot 1 - 1 = 0$
• $y(-1) = 2^2 \cdot 4 - 1 = 15$

Наименьшее значение: $y(-3) = -1$