Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование произведений

Найдём производную функции $y = (x-2)^2(x-4) + 5$ по правилу произведения.

Обозначим $u = (x-2)^2$ и $v = (x-4)$. Тогда $y' = u'v + uv'$.

Вычислим:

• $u' = 2(x-2)$
• $v' = 1$

Получаем: $$y' = 2(x-2)(x-4) + (x-2)^2 \cdot 1 = 2(x-2)(x-4) + (x-2)^2$$

Вынесем общий множитель $(x-2)$: $$y' = (x-2)[2(x-4) + (x-2)] = (x-2)[2x - 8 + x - 2] = (x-2)(3x-10)$$

Найдём нули производной: $(x-2)(3x-10) = 0$

Отсюда $x = 2$ или $x = \frac{10}{3}$.

Определим знаки производной на интервалах:

• При $x < 2$: оба множителя отрицательны, $y' > 0$ — функция возрастает
• При $2 < x < \frac{10}{3}$: $(x-2) > 0$, $(3x-10) < 0$, поэтому $y' < 0$ — функция убывает
• При $x > \frac{10}{3}$: оба множителя положительны, $y' > 0$ — функция возрастает

В точке $x = 2$ производная меняет знак с положительного на отрицательный, следовательно, это точка максимума.