Задача 26732. Исследование произведений

Используем правило произведения для нахождения производной. Пусть $u = x^2 - 8x + 8$ и $v = e^{6-x}$.

Шаг 1: Вычислим производные компонент.

$u' = 2x - 8$

$v' = e^{6-x} \cdot (-1) = -e^{6-x}$ (по правилу цепи)

Шаг 2: Применим формулу производной произведения.

$$y' = (2x - 8) \cdot e^{6-x} + (x^2 - 8x + 8) \cdot (-e^{6-x})$$

$$y' = e^{6-x}[(2x - 8) - (x^2 - 8x + 8)]$$

$$y' = e^{6-x}[2x - 8 - x^2 + 8x - 8] = e^{6-x}[-x^2 + 10x - 16]$$

$$y' = -e^{6-x}(x^2 - 10x + 16)$$

Шаг 3: Найдём критические точки.

Так как $e^{6-x} > 0$ для всех $x$, приравняем к нулю только скобку:

$$x^2 - 10x + 16 = 0$$

По теореме Виета или дискриминанту: $(x - 2)(x - 8) = 0$

Критические точки: $x = 2$ и $x = 8$

Шаг 4: Определим знаки производной.

На интервале $(−\infty, 2)$: $x^2 - 10x + 16 > 0$, поэтому $y' < 0$ — функция убывает

На интервале $(2, 8)$: $x^2 - 10x + 16 < 0$, поэтому $y' > 0$ — функция возрастает

На интервале $(8, +\infty)$: $x^2 - 10x + 16 > 0$, поэтому $y' < 0$ — функция убывает

Вывод: При переходе через точку $x = 2$ производная меняет знак с минуса на плюс — это точка минимума.