Задача 26726. Исследование произведений

Исследуем функцию $y=(x-2)^2e^{x-6}$, чтобы найти точку максимума.

Шаг 1. Найдём производную, применив правило произведения.

Производная произведения: $(uv)' = u'v + uv'$

Здесь $u = (x-2)^2$, $v = e^{x-6}$.

$u' = 2(x-2)$

$v' = e^{x-6}$

Получаем: $$y' = 2(x-2)e^{x-6} + (x-2)^2e^{x-6}$$

Шаг 2. Вынесем общий множитель.

Оба слагаемых содержат $(x-2)e^{x-6}$: $$y' = (x-2)e^{x-6}[2 + (x-2)] = (x-2)e^{x-6}(x)$$

Переписываем: $$y' = x(x-2)e^{x-6}$$

Шаг 3. Найдём критические точки.

Производная равна нулю, когда один из множителей равен нулю:

• $x = 0$
• $x - 2 = 0$ ⟹ $x = 2$
• $e^{x-6} > 0$ для всех $x$ (экспонента всегда положительна)

Критические точки: $x = 0$ и $x = 2$.

Шаг 4. Определим знаки производной на интервалах.

Разложим: $y' = x(x-2)e^{x-6}$. Экспонента всегда положительна, знак зависит от $x(x-2)$.

• При $x < 0$: оба множителя отрицательны, произведение положительно → $y' > 0$ (функция растёт)
• При $0 < x < 2$: $x > 0$, $(x-2) < 0$, произведение отрицательно → $y' < 0$ (функция убывает)
• При $x > 2$: оба множителя положительны, произведение положительно → $y' > 0$ (функция растёт)

Шаг 5. Определим экстремумы.

Производная меняет знак с плюса на минус в точке $x = 0$ → это точка максимума.

Производная меняет знак с минуса на плюс в точке $x = 2$ → это точка минимума.