Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование произведений

Дана функция $y = (x+3)^2(x+5) - 1$. Нужно найти её точку минимума.

Шаг 1. Найдём производную, используя правило произведения.

Производная произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Здесь $u = (x+3)^2$, $v = (x+5)$, константа $-1$ имеет производную $0$.

$$y' = [(x+3)^2]'(x+5) + (x+3)^2 \cdot 1$$

$$y' = 2(x+3)(x+5) + (x+3)^2$$

Шаг 2. Вынесем общий множитель.

$$y' = (x+3)[2(x+5) + (x+3)]$$

$$y' = (x+3)(2x + 10 + x + 3) = (x+3)(3x+13)$$

Шаг 3. Найдём критические точки — нули производной.

$(x+3)(3x+13) = 0$

$x = -3$ или $x = -\frac{13}{3} \approx -4{,}33$

Шаг 4. Определим знаки производной на промежутках.

• При $x < -\frac{13}{3}$: оба множителя отрицательны → $y' > 0$ (функция возрастает)
• При $-\frac{13}{3} < x < -3$: $(x+3) < 0$, $(3x+13) > 0$ → $y' < 0$ (функция убывает)
• При $x > -3$: оба множителя положительны → $y' > 0$ (функция возрастает)

Шаг 5. Определим тип экстремумов.

Производная меняет знак с плюса на минус в точке $x = -\frac{13}{3}$ — это максимум.

Производная меняет знак с минуса на плюс в точке $x = -3$ — это минимум.