Задача 26727. Исследование произведений

Найдём производную функции $y = (x-2)^2 e^{x-5}$, используя правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Обозначим $u = (x-2)^2$ и $v = e^{x-5}$. Тогда:

• $u' = 2(x-2)$
• $v' = e^{x-5}$

Производная: $$y' = 2(x-2) \cdot e^{x-5} + (x-2)^2 \cdot e^{x-5}$$

Вынесем общий множитель $e^{x-5}$ (он всегда положителен): $$y' = e^{x-5} \left[2(x-2) + (x-2)^2\right]$$

Упростим скобку: $$2(x-2) + (x-2)^2 = (x-2)[2 + (x-2)] = (x-2) \cdot x$$

Отсюда: $$y' = x(x-2)e^{x-5}$$

Найдём критические точки: приравняем производную к нулю. $$x(x-2)e^{x-5} = 0$$

Поскольку $e^{x-5} > 0$ для всех $x$, уравнение сводится к: $$x(x-2) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ или } x = 2$$

Определим знаки производной на интервалах:

• При $x < 0$: оба множителя $x$ и $(x-2)$ отрицательны, поэтому $y' > 0$ (функция возрастает)
• При $0 < x < 2$: $x > 0$, $(x-2) < 0$, поэтому $y' < 0$ (функция убывает)
• При $x > 2$: оба множителя положительны, поэтому $y' > 0$ (функция возрастает)

Производная меняет знак с отрицательного на положительный в точке $x = 2$, что указывает на локальный минимум.