Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование произведений

Найдём производную функции $y = e^{2x}(2 - x^2)$, используя правило произведения.

Шаг 1: Вычисляем производную

Производная произведения: $(uv)' = u'v + uv'$

$(e^{2x})' = 2e^{2x}$ — производная экспоненты с цепным правилом

$(2 - x^2)' = -2x$ — производная многочлена

Получаем: $$y' = 2e^{2x}(2 - x^2) + e^{2x}(-2x) = e^{2x}(4 - 2x^2 - 2x)$$

Вынесем общий множитель из скобки: $$y' = 2e^{2x}(-x^2 - x + 2)$$

Шаг 2: Находим критические точки

Производная равна нулю: $e^{2x}(-x^2 - x + 2) = 0$

Поскольку $e^{2x} > 0$ при любом $x$, приравниваем квадратный трёхчлен к нулю: $$-x^2 - x + 2 = 0$$ $$x^2 + x - 2 = 0$$ $$(x + 2)(x - 1) = 0$$

Критические точки: $x = -2$ и $x = 1$

Шаг 3: Определяем характер экстремумов

Исследуем знак производной на промежутках:

• При $x < -2$: выражение $-x^2 - x + 2 < 0$, значит $y' < 0$ (функция убывает)
• При $-2 < x < 1$: выражение $-x^2 - x + 2 > 0$, значит $y' > 0$ (функция возрастает)
• При $x > 1$: выражение $-x^2 - x + 2 < 0$, значит $y' < 0$ (функция убывает)

В точке $x = -2$ производная меняет знак с минуса на плюс — это точка минимума.