Задача 26729. Исследование произведений

Найдём производную, применив правило произведения к $y = (x+3)^2 \cdot e^{2-x}$:

$$y' = [(x+3)^2]' \cdot e^{2-x} + (x+3)^2 \cdot [e^{2-x}]'$$

Вычислим каждое слагаемое:

• $[(x+3)^2]' = 2(x+3)$
• $[e^{2-x}]' = e^{2-x} \cdot (-1) = -e^{2-x}$

Подставим: $$y' = 2(x+3) \cdot e^{2-x} + (x+3)^2 \cdot (-e^{2-x})$$

Вынесем общий множитель $e^{2-x}$: $$y' = e^{2-x} \cdot [2(x+3) - (x+3)^2]$$

Упростим скобку: $$2(x+3) - (x+3)^2 = (x+3)[2 - (x+3)] = (x+3)(-x-1) = -(x+3)(x+1)$$

Итак: $$y' = -e^{2-x}(x+3)(x+1)$$

Поскольку $e^{2-x} > 0$ всегда, знак производной зависит только от $-(x+3)(x+1)$.

Найдём нули производной: $y' = 0$ при $x = -3$ или $x = -1$.

Определим знаки на интервалах:

• При $x < -3$: оба множителя $(x+3)$ и $(x+1)$ отрицательны, их произведение положительно, значит $y' < 0$ (функция убывает)
• При $-3 < x < -1$: $(x+3) > 0$, $(x+1) < 0$, произведение отрицательно, значит $y' > 0$ (функция возрастает)
• При $x > -1$: оба множителя положительны, произведение положительно, значит $y' < 0$ (функция убывает)

Производная меняет знак с минуса на плюс в точке $x = -3$, значит здесь минимум.