Задача 26728. Исследование произведений

Шаг 1. Найдём производную функции

Функция $y = (x+6)^2 e^{4-x}$ — произведение двух функций. Применим правило произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

$u = (x+6)^2 \Rightarrow u' = 2(x+6)$

$v = e^{4-x} \Rightarrow v' = e^{4-x} \cdot (-1) = -e^{4-x}$

Получаем: $$y' = 2(x+6) \cdot e^{4-x} + (x+6)^2 \cdot (-e^{4-x})$$

Шаг 2. Упростим производную

Вынесем общий множитель $e^{4-x}$: $$y' = e^{4-x}[2(x+6) - (x+6)^2]$$

Вынесем $(x+6)$ из скобок: $$y' = e^{4-x}(x+6)[2 - (x+6)]$$

$$y' = e^{4-x}(x+6)(2 - x - 6) = e^{4-x}(x+6)(-x-4)$$

$$y' = -e^{4-x}(x+4)(x+6)$$

Шаг 3. Найдём критические точки

Производная равна нулю, когда один из множителей равен нулю. Множитель $e^{4-x} > 0$ всегда, поэтому: $$(x+4)(x+6) = 0$$

Критические точки: $x = -4$ и $x = -6$

Шаг 4. Определим знаки производной

Анализируем знак $y' = -e^{4-x}(x+4)(x+6)$ на промежутках:

• При $x < -6$: $(x+4) < 0$, $(x+6) < 0$, произведение $(x+4)(x+6) > 0$, поэтому $y' < 0$ (убывание)
• При $-6 < x < -4$: $(x+4) < 0$, $(x+6) > 0$, произведение $(x+4)(x+6) < 0$, поэтому $y' > 0$ (возрастание)
• При $x > -4$: $(x+4) > 0$, $(x+6) > 0$, произведение $(x+4)(x+6) > 0$, поэтому $y' < 0$ (убывание)

Шаг 5. Определим экстремумы

В точке $x = -4$ производная меняет знак с плюса на минус — это точка максимума.

В точке $x = -6$ производная меняет знак с минуса на плюс — это точка минимума.