Задание 12 ЕГЭ: наибольшее и наименьшее значение тригонометрических функций

О чём эта подтема

Задание 12 профильного ЕГЭ часто предлагает функцию, в которой тригонометрическая часть соединена с линейным слагаемым по $x$: например, $y=a\cos x+bx+c$ или $y=a-bx-c\cos x$. Такие функции не являются периодическими и не сводятся к простой оценке через ограниченность синуса и косинуса — их нужно исследовать классическим методом математического анализа: через производную, критические точки и сравнение значений на границах отрезка.

Эта подтема — частный случай общей задачи «найти наибольшее/наименьшее значение функции на отрезке», но с тригонометрической спецификой: уравнение $y'=0$ превращается в простое тригонометрическое уравнение вида $\sin x = k$ или $\cos x = k$, а вычисление значения функции в найденной точке требует знания табличных значений синуса и косинуса.

Важно отличать такие задачи от задач с чисто тригонометрическими функциями без линейной части (там работает оценка через $[-1;1]$ или замена переменной). Здесь метод другой — стандартное исследование функции через производную.

Что нужно знать

Для решения этой подтемы достаточно свободно владеть следующим:

1. Производные тригонометрических функций: $$(\sin x)'=\cos x,\qquad (\cos x)'=-\sin x.$$

2. Табличные значения синуса и косинуса в точках $0,\ \dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{\pi}{2}$ — без них нельзя быстро решить уравнение $\sin x = k$ или $\cos x=k$ и вычислить значение функции в критической точке.

3. Алгоритм исследования функции на отрезке: найти производную, решить уравнение $y'=0$, отобрать корни, принадлежащие данному отрезку, определить знак производной слева и справа от каждого корня (или вычислить вторую производную), сравнить значения функции в критических точках и на концах отрезка.

4. Монотонность функций $\sin x$ и $\cos x$ на стандартных промежутках — это помогает быстро определить знак производной без построения графика.

5. Свойство: если критическая точка единственная на отрезке и функция меняет характер монотонности (возрастание → убывание или наоборот), то это глобальный экстремум на всём отрезке, и сравнивать с концами отрезка в таком случае не обязательно — достаточно понять направление изменения функции.

Отдельно важно уметь работать с выражениями, где под тригонометрической функцией или рядом с ней стоит линейный член: $bx+c$. Такие слагаемые не мешают дифференцированию, но их нужно аккуратно перенести при вычислении значения функции в найденной точке, особенно если в условии есть слагаемые типа $\sqrt{3}\,\pi$ или $\dfrac{5\pi}{4}$ — они специально подобраны так, чтобы при подстановке критической точки взаимно уничтожаться с частью выражения.

Как решать: метод и алгоритм

Шаг 1. Определить, входит ли $x$ в функцию не только под знаком тригонометрической функции, но и как отдельное слагаемое (линейно). Если да — перед вами задача на исследование через производную, а не через оценку амплитуды.

Шаг 2. Найти производную $y'(x)$, используя таблицу производных и правило дифференцирования суммы.

Шаг 3. Решить уравнение $y'(x)=0$. Обычно оно сводится к виду $\sin x = k$ или $\cos x = k$, где $k$ — «удобное» табличное значение (например, $\dfrac12,\ \dfrac{\sqrt2}{2},\ \dfrac{\sqrt3}{2}$).

Шаг 4. Отобрать те корни уравнения, которые попадают в заданный отрезок $[a;b]$.

Шаг 5. Определить характер найденной точки: посмотреть знак $y'$ слева и справа от корня (или вычислить $y''$ в этой точке). Если производная меняет знак с «+» на «−», это точка максимума; если с «−» на «+» — минимума.

Шаг 6. Если экстремум внутри отрезка единственный и по характеру монотонности он глобальный (функция только возрастала до него и только убывала после, или наоборот), вычислить значение функции именно в этой точке — это и есть искомый ответ. Если есть сомнения, дополнительно сравнить значение в критической точке со значениями на концах отрезка $a$ и $b$.

Шаг 7. При вычислении значения функции в найденной точке аккуратно подставить $x$ и следить за тем, как линейные слагаемые с $\pi$ сокращаются с частью тригонометрического слагаемого — в грамотно составленной задаче это всегда приводит к простому числовому ответу.

Разбор примера

Пример 1. Найдите наибольшее значение функции $$y=12\cos x+6\sqrt{3}\,x-2\sqrt{3}\,\pi+6$$ на отрезке $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$.

Шаг 1. В функции $x$ встречается и под косинусом, и как отдельное линейное слагаемое $6\sqrt3\,x$ — значит, метод исследования через производную.

Шаг 2. Находим производную: $$y'=-12\sin x+6\sqrt{3}.$$

Шаг 3. Решаем уравнение $y'=0$: $$-12\sin x+6\sqrt3=0 \;\Rightarrow\; \sin x=\frac{6\sqrt3}{12}=\frac{\sqrt3}{2}.$$ Отсюда на отрезке $[0;\pi/2]$ подходит единственное решение $x=\dfrac{\pi}{3}$ (второе решение уравнения $\sin x=\sqrt3/2$ равно $\dfrac{2\pi}{3}$, но оно не входит в отрезок).

Шаг 4. Точка $x=\dfrac{\pi}{3}$ принадлежит $[0;\pi/2]$ — подходит.

Шаг 5. Проверяем характер экстремума. При $x<\pi/3$ имеем $\sin x<\sqrt3/2$, значит $y'=-12\sin x+6\sqrt3>0$ — функция возрастает. При $x>\pi/3$ (в пределах отрезка) $\sin x>\sqrt3/2$, значит $y'<0$ — функция убывает. Следовательно, $x=\pi/3$ — точка максимума, причём глобального на всём отрезке (слева функция росла, справа убывает).

Шаг 6. Вычисляем значение функции: $$y\left(\frac{\pi}{3}\right)=12\cos\frac{\pi}{3}+6\sqrt3\cdot\frac{\pi}{3}-2\sqrt3\,\pi+6.$$ Так как $\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12$: $$12\cdot\frac12=6,\qquad 6\sqrt3\cdot\frac{\pi}{3}=2\sqrt3\,\pi.$$ Подставляем: $$y\left(\frac{\pi}{3}\right)=6+2\sqrt3\,\pi-2\sqrt3\,\pi+6=12.$$

Линейное слагаемое $2\sqrt3\,\pi$ полностью сократилось со слагаемым $-2\sqrt3\,\pi$ из условия — это не случайность, а признак того, что задача составлена корректно и критическая точка найдена верно.

Ответ: наибольшее значение равно $12$.

Пример 2. Найдите наименьшее значение функции $$y=3+\frac{5\pi}{4}-5x-5\sqrt2\cos x$$ на отрезке $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$.

Шаг 1. Снова $x$ входит и под косинусом, и линейно — используем производную.

Шаг 2. Находим производную (слагаемые $3$ и $\dfrac{5\pi}{4}$ — константы, их производная равна нулю): $$y'=-5-5\sqrt2\cdot(-\sin x)=-5+5\sqrt2\sin x.$$

Шаг 3. Решаем $y'=0$: $$-5+5\sqrt2\sin x=0 \;\Rightarrow\; \sin x=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}.$$ На отрезке $[0;\pi/2]$ единственное решение $x=\dfrac{\pi}{4}$.

Шаг 4. Точка $x=\pi/4$ входит в отрезок.

Шаг 5. При $x<\pi/4$: $\sin x<\sqrt2/2$, значит $y'<0$ — функция убывает. При $x>\pi/4$: $\sin x>\sqrt2/2$, значит $y'>0$ — функция возрастает. Следовательно, $x=\pi/4$ — точка минимума, глобального на всём отрезке.

Шаг 6. Вычисляем значение функции: $$y\left(\frac{\pi}{4}\right)=3+\frac{5\pi}{4}-5\cdot\frac{\pi}{4}-5\sqrt2\cos\frac{\pi}{4}.$$ Так как $\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}$: $$5\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4},\qquad 5\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{5\cdot2}{2}=5.$$ Подставляем: $$y\left(\frac{\pi}{4}\right)=3+\frac{5\pi}{4}-\frac{5\pi}{4}-5=3-5=-2.$$

Слагаемые с $\pi$ снова сократились — это подтверждает правильность вычислений.

Ответ: наименьшее значение равно $-2$.

Типичные ошибки

Ошибка в знаке производной косинуса. Часто забывают минус: $(\cos x)'=-\sin x$, а не $\sin x$. Это меняет знак всего уравнения $y'=0$ и приводит к неверному корню.

Потеря корней или выбор корня не из нужного отрезка. Уравнение $\sin x=k$ или $\cos x=k$ имеет несколько решений на всей числовой прямой; нужно отбирать только те, что лежат в границах данного отрезка, а не автоматически брать «главное» значение арксинуса.

Путаница максимум/минимум. После нахождения критической точки обязательно проверяется знак производной слева и справа (или знак второй производной), иначе легко перепутать точку максимума с точкой минимума и получить ответ с противоположным знаком.

Ошибки при подстановке линейного слагаемого. Когда в условии есть слагаемые вида $b\pi$ или $\dfrac{k\pi}{m}$, при подстановке критической точки $x=\dfrac{\pi}{n}$ нужно аккуратно умножить и привести дроби к общему знаменателю — здесь чаще всего возникают арифметические ошибки со знаками.

Забывают проверить концы отрезка. Если не очевидно, что найденный экстремум глобальный (например, при нескольких критических точках на отрезке), нужно обязательно сравнить значение в критической точке со значениями на концах $a$ и $b$.

Путают чисто тригонометрические функции с линейно-тригонометрическими. Если в функции нет отдельного слагаемого $bx$, а есть только тригонометрические выражения, то производная не даст удобного корня — там нужен другой метод (оценка через ограниченность $\sin x, \cos x\in[-1;1]$ или замена $t=\sin x$). Попытка применить производную там, где достаточно оценки, или наоборот — приводит к потере времени или неверному ответу.

На что обратить внимание на экзамене

Прежде всего определите тип функции: есть ли в ней линейное слагаемое $bx$ помимо тригонометрической части. Это сразу подсказывает метод — производная и критические точки, а не оценка амплитуды.

После нахождения уравнения $y'=0$ проверяйте, что получившееся значение $k$ в $\sin x=k$ или $\cos x=k$ действительно табличное (обычно это $\dfrac12,\ \dfrac{\sqrt2}{2},\ \dfrac{\sqrt3}{2}, 1$ и похожие числа) — если получилось что-то иное, скорее всего где-то допущена арифметическая ошибка при дифференцировании.

Всегда явно проверяйте знак производной слева и справа от найденной критической точки — этот шаг нельзя пропускать, даже если кажется «интуитивно понятным», где максимум и где минимум.

При вычислении итогового значения функции ожидайте, что слагаемые с $\pi$ взаимно уничтожатся — если в результате остаётся выражение с $\pi$, скорее всего где-то ошибка в вычислениях или неверно выбрана критическая точка.

Следите за границами отрезка: указанный отрезок часто подобран так, что в нём лежит ровно одна критическая точка, но нужно всегда проверять, не отрезаны ли другие решения уравнения $y'=0$ именно этими границами — иногда экзаменатор специально сужает отрезок, чтобы исключить «удобный», но неверный корень.

И, наконец, не путайте вопрос задания: внимательно читайте, просят найти наибольшее или наименьшее значение — в линейно-тригонометрической функции знак линейного коэффициента определяет, будет единственная критическая точка максимумом или минимумом, и невнимательность здесь стоит целого балла.