Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование тригонометрических функций

Найдём производную функции: $$y' = 5\cos x - 6$$

Проверим, есть ли критические точки, решив уравнение $y' = 0$: $$5\cos x - 6 = 0$$ $$\cos x = 1,2$$

Так как косинус не может быть больше 1, это уравнение не имеет решений.

Оценим знак производной на отрезке $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$. На этом отрезке $\cos x$ принимает значения от 0 до 1, поэтому: $$y' = 5\cos x - 6 \leq 5 \cdot 1 - 6 = -1 < 0$$

Производная везде отрицательна, значит функция убывает на всём отрезке.

Для убывающей функции наибольшее значение достигается на левом конце отрезка, то есть в точке $x = 0$: $$y(0) = 5\sin 0 - 6 \cdot 0 + 3 = 0 - 0 + 3 = 3$$