Задача 26699. Исследование тригонометрических функций

Шаг 1. Найдём производную функции.

$$y' = 10\cos x - \frac{36}{\pi}$$

Производная состоит из двух частей: производная синуса даёт косинус, константа в числителе 36 переходит в числитель при дифференцировании дробно-линейного члена.

Шаг 2. Проанализируем знак производной.

Уравнение $y' = 0$ означает $10\cos x = \frac{36}{\pi}$, то есть $\cos x = \frac{3,6}{\pi} \approx 1,15$.

Поскольку косинус не превышает 1, это уравнение решений не имеет. При этом $\frac{36}{\pi} > 10$ (так как $\pi < 3,6$), поэтому $10\cos x < 10 < \frac{36}{\pi}$ для всех $x$.

Следовательно, $y' < 0$ всюду — функция строго убывает на отрезке.

Шаг 3. Найдём максимум на отрезке.

Убывающая функция достигает своего наибольшего значения на левом конце отрезка: при $x = -\frac{5\pi}{6}$.

Шаг 4. Вычислим значение в левой точке.

$$y\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = 10\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right) + \frac{36}{\pi} \cdot \frac{5\pi}{6} + 7$$

Вычислим каждое слагаемое:

• $\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$, поэтому $10 \cdot (-\frac{1}{2}) = -5$
• $\frac{36}{\pi} \cdot \frac{5\pi}{6} = 36 \cdot \frac{5}{6} = 30$
• Свободный член: $7$

Сумма: $-5 + 30 + 7 = 32$