Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование тригонометрических функций

Найдём производную функции $y = 3 + \frac{5\pi}{4} - 5x - 5\sqrt{2}\cos x$.

Производная: $y'(x) = -5 + 5\sqrt{2}\sin x = 5\sqrt{2}\sin x - 5$.

Уравнение $y'(x) = 0$ даёт: $5\sqrt{2}\sin x - 5 = 0$, откуда $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

На отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$ это уравнение имеет единственное решение: $x = \frac{\pi}{4}$.

Проверим знак производной:

• При $x \in [0; \frac{\pi}{4})$: $\sin x < \frac{\sqrt{2}}{2}$, поэтому $y'(x) < 0$ (функция убывает).
• При $x \in (\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}]$: $\sin x > \frac{\sqrt{2}}{2}$, поэтому $y'(x) > 0$ (функция возрастает).

Значит, в точке $x = \frac{\pi}{4}$ достигается локальный минимум на отрезке.

Вычислим значение функции в этой точке. Заметим, что $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 3 + \frac{5\pi}{4} - 5 \cdot \frac{\pi}{4} - 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3 + \frac{5\pi}{4} - \frac{5\pi}{4} - 5 = -2.$$

Проверим концы отрезка: при $x = 0$ получаем $3 + \frac{5\pi}{4} - 5\sqrt{2} \approx -3{,}5$, при $x = \frac{\pi}{2}$ значение ещё больше. Наименьшее значение равно $-2$.