ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 12Исследование тригонометрических функций

Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование тригонометрических функций

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 123.2.1 Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания3.2.5 Точки экстремума функции

Найдите наибольшее значение функции y=15x минус 3 синус x плюс 5 на отрезке левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;0 правая квадратная скобка .

В подтеме 29 задач
Разбор
Главная идея: Функция возрастает на отрезке (так как производная положительна везде), поэтому наибольшее значение находится в правом конце отрезка.

Шаг 1. Найдём производную функции

Дана функция y=15x−3sin⁡x+5y = 15x - 3\sin x + 5.

Берём производную каждого слагаемого:

  • производная от 15x15x равна 1515
  • производная от −3sin⁡x-3\sin x равна −3cos⁡x-3\cos x
  • производная от константы 55 равна 00

Получаем: y′=15−3cos⁡xy' = 15 - 3\cos x

Шаг 2. Исследуем знак производной

Производная равна нулю, если 15−3cos⁡x=015 - 3\cos x = 0, то есть cos⁡x=5\cos x = 5. Но косинус никогда не превышает 11, поэтому уравнение y′=0y' = 0 решений не имеет.

Теперь определим знак производной. Поскольку −1≤cos⁡x≤1-1 \leq \cos x \leq 1, то −3≤−3cos⁡x≤3-3 \leq -3\cos x \leq 3.

Следовательно, y′=15−3cos⁡x≥15−3=12>0y' = 15 - 3\cos x \geq 15 - 3 = 12 > 0 при всех значениях xx.

Производная всегда положительна, значит, функция возрастает на всём отрезке.

Шаг 3. Найдём наибольшее значение

Для возрастающей функции наибольшее значение на отрезке [−π2;0]\left[-\frac{\pi}{2}; 0\right] достигается на правом конце.

Вычислим y(0)y(0): y(0)=15⋅0−3sin⁡0+5=0−0+5=5y(0) = 15 \cdot 0 - 3\sin 0 + 5 = 0 - 0 + 5 = 5

Типичные ошибки

  • Попытка решить уравнение 15−3cos⁡x=015 - 3\cos x = 0, не заметив, что cos⁡x=5\cos x = 5 невозможно
  • Ошибка в вычислении значения sin⁡0\sin 0 (должно быть 00, а не другое значение)
  • Проверка значения на левом конце отрезка вместо правого, хотя функция возрастает
Непонятно?

Похожие задачи