Задача 26692. Исследование тригонометрических функций

Шаг 1. Найдём производную функции.

Дана функция $y = 12\cos x + 6\sqrt{3} x - 2\sqrt{3}\pi + 6$.

Производная: $$y' = -12\sin x + 6\sqrt{3}$$

Постоянные слагаемые исчезают, $\cos x$ дифференцируется в $-\sin x$, линейный член $6\sqrt{3}x$ даёт $6\sqrt{3}$.

Шаг 2. Найдём критические точки на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$.

Приравняем производную к нулю: $$-12\sin x + 6\sqrt{3} = 0$$ $$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

На отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$ этому уравнению удовлетворяет $x = \frac{\pi}{3}$ (это табличное значение).

Шаг 3. Определим характер экстремума.

Проверим знак производной:

• При $x \in [0; \frac{\pi}{3})$: $\sin x < \frac{\sqrt{3}}{2}$, поэтому $y' > 0$ — функция возрастает
• При $x \in (\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{2}]$: $\sin x > \frac{\sqrt{3}}{2}$, поэтому $y' < 0$ — функция убывает

В точке $x = \frac{\pi}{3}$ — локальный максимум.

Шаг 4. Вычислим значение функции в критической точке и на границах.

В точке $x = \frac{\pi}{3}$: $$y\left(\frac{\pi}{3}\right) = 12\cos\frac{\pi}{3} + 6\sqrt{3} \cdot \frac{\pi}{3} - 2\sqrt{3}\pi + 6$$ $$= 12 \cdot \frac{1}{2} + 2\sqrt{3}\pi - 2\sqrt{3}\pi + 6 = 6 + 6 = 12$$

Средние слагаемые сокращаются, поэтому получаем ровно 12.