Задача 26697. Исследование тригонометрических функций

Чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, нужно исследовать её поведение.

Шаг 1. Найдём производную. $$y' = 7\cos x - 8$$

Шаг 2. Определим знак производной.

Производная равна $7\cos x - 8$. Поскольку $\cos x$ принимает значения от $-1$ до $1$, то:

• максимум $7\cos x$ равен $7 \cdot 1 = 7$
• следовательно, $7\cos x - 8 \leq 7 - 8 = -1 < 0$

Производная всегда отрицательна, это значит функция строго убывает на всём отрезке $\left[-\frac{3\pi}{2}; 0\right]$.

Шаг 3. Найдём наименьшее значение.

Для убывающей функции наименьшее значение на отрезке достигается в правом конце отрезка, то есть при $x = 0$.

$$y(0) = 7\sin 0 - 8 \cdot 0 + 9 = 0 - 0 + 9 = 9$$

Значит, наименьшее значение функции равно $9$.