Задача 26698. Исследование тригонометрических функций

1. Найдём производную функции

$$y = 6\cos x + \frac{24}{\pi}x + 5$$

$$y' = -6\sin x + \frac{24}{\pi}$$

2. Проверим, есть ли критические точки

Решаем $y' = 0$: $$-6\sin x + \frac{24}{\pi} = 0$$ $$\sin x = \frac{4}{\pi}$$

Поскольку $\pi \approx 3{,}14$, то $\frac{4}{\pi} \approx 1{,}27 > 1$. Синус не может быть больше 1, поэтому решений нет.

3. Определим монотонность функции

Производная $y' = -6\sin x + \frac{24}{\pi}$. Так как $-1 \leq \sin x \leq 1$, то: $$-6 \leq -6\sin x \leq 6$$ $$-6 + \frac{24}{\pi} \leq y' \leq 6 + \frac{24}{\pi}$$

Так как $\frac{24}{\pi} \approx 7{,}64 > 6$, имеем $y' > 0$ при всех $x$. Функция возрастает на всём отрезке.

4. Найдём наименьшее значение

Для возрастающей функции минимум достигается на левом конце отрезка при $x = -\frac{2\pi}{3}$:

$$y\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = 6\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) + \frac{24}{\pi} \cdot \left(-\frac{2\pi}{3}\right) + 5$$

$$= 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - 16 + 5 = -3 - 16 + 5 = -14$$