ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 12Исследование тригонометрических функций

Задача 26694. Исследование тригонометрических функций

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 123.2.1 Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания3.2.5 Точки экстремума функции

Найдите наименьшее значение функции y=5 косинус x минус 6x плюс 4  на отрезке левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;0 правая квадратная скобка .

В подтеме 29 задач
Разбор
Главная идея: Производная отрицательна при всех значениях, поэтому функция монотонно убывает, и её наименьшее значение на отрезке находится в правом конце.

Найдём производную функции y=5cos⁡x−6x+4y = 5\cos x - 6x + 4:

y′=−5sin⁡x−6y' = -5\sin x - 6

Проверим, может ли производная равняться нулю: −5sin⁡x−6=0-5\sin x - 6 = 0 sin⁡x=−65\sin x = -\frac{6}{5}

Поскольку sin⁡x\sin x может принимать значения только из отрезка [−1;1][-1; 1], а число −65=−1,2-\frac{6}{5} = -1,2 находится вне этого диапазона, уравнение y′=0y' = 0 не имеет решений.

Это означает, что на всём отрезке производная сохраняет постоянный знак. Проверим его: y′=−5sin⁡x−6<0y' = -5\sin x - 6 < 0 для любого xx, так как −5sin⁡x≤5-5\sin x \leq 5, значит −5sin⁡x−6≤−1<0-5\sin x - 6 \leq -1 < 0.

Поскольку производная всегда отрицательна, функция убывает на всём отрезке [−3π2;0]\left[-\frac{3\pi}{2}; 0\right]. Для убывающей функции наименьшее значение достигается в правом конце отрезка.

Вычислим значение в точке x=0x = 0: y(0)=5cos⁡0−6⋅0+4=5⋅1+4=9y(0) = 5\cos 0 - 6 \cdot 0 + 4 = 5 \cdot 1 + 4 = 9

Типичные ошибки

  • Забыть проверить, что y′=0y' = 0 не имеет решений, и ошибочно искать критические точки
  • Перепутать направление монотонности: при отрицательной производной функция убывает, а не возрастает
  • Ошибиться в вычислении: например, забыть, что cos⁡0=1\cos 0 = 1, или ошибиться в знаке при вычислении y(0)y(0)

Ещё задачи этой подтемы