Задача 26696. Исследование тригонометрических функций

Чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, нужно исследовать её поведение. Найдём производную:

$$y' = -9\sin x + 14$$

Проверим знак производной на всём интервале $[0; \frac{3\pi}{2}]$. Синус принимает значения от $-1$ до $1$, поэтому:

$$-9\sin x \in [-9; 9]$$

Следовательно:

$$y' = -9\sin x + 14 \in [5; 23]$$

Производная всегда положительна (минимум равен 5 при $\sin x = 1$). Это означает, что функция монотонно возрастает на всём указанном отрезке.

Для возрастающей функции наименьшее значение достигается в левой границе интервала, то есть в точке $x = 0$:

$$y(0) = 9\cos 0 + 14 \cdot 0 + 7 = 9 \cdot 1 + 0 + 7 = 16$$

Ответ: 16.