Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование тригонометрических функций

Найдём производную функции $y = 3\tan x - 3x + 5$.

Производная тангенса равна $\frac{1}{\cos^2 x}$, поэтому: $$y' = 3 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} - 3 = 3\left(\frac{1}{\cos^2 x} - 1\right)$$

Преобразуем выражение в скобках, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$: $$\frac{1}{\cos^2 x} - 1 = \frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \tan^2 x$$

Таким образом: $$y' = 3\tan^2 x$$

На отрезке $\left[-\frac{\pi}{4}; 0\right]$ производная $y' = 3\tan^2 x \geq 0$ (квадрат любого числа неотрицателен). Более того, $y' = 0$ только в точке $x = 0$.

Поскольку производная неотрицательна на всём отрезке, функция является неубывающей, следовательно, возрастает. Это означает, что наибольшее значение достигается на правом конце отрезка, в точке $x = 0$: $$y(0) = 3\tan 0 - 3 \cdot 0 + 5 = 3 \cdot 0 - 0 + 5 = 5$$