Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование тригонометрических функций

Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, исследуем её поведение.

Шаг 1. Найдём производную

$$y' = -2\sin x - \frac{18}{\pi}$$

Производная суммы: производная от $2\cos x$ равна $-2\sin x$, производная от линейной части $-\frac{18}{\pi}x$ равна $-\frac{18}{\pi}$, производная от константы 4 равна нулю.

Шаг 2. Проверим, есть ли критические точки

Уравнение $y' = 0$: $$-2\sin x - \frac{18}{\pi} = 0$$ $$\sin x = -\frac{9}{\pi}$$

Поскольку $\pi \approx 3,14$, то $\frac{9}{\pi} \approx 2,87 > 1$. Синус никогда не может быть меньше $-1$, поэтому решений нет.

Шаг 3. Определим знак производной

Так как $\sin x \in [-1; 1]$, то $-2\sin x \in [-2; 2]$, а значит $y' = -2\sin x - \frac{18}{\pi} < 0$ при всех $x$ (отрицательный слагаемый $-\frac{18}{\pi} \approx -5,73$ доминирует).

Производная всегда отрицательна — функция убывает на всём отрезке.

Шаг 4. Найдём максимум

Для убывающей функции максимум достигается на левом конце отрезка: $$y\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = 2\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) + \frac{18}{\pi} \cdot \frac{2\pi}{3} + 4$$

$\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$ (косинус чётная функция, $\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$)

$$y = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 12 + 4 = -1 + 12 + 4 = 15$$