Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование тригонометрических функций

Найдём производную функции $y = 16\tan x - 16x + 4\pi - 5$.

$$y' = \frac{16}{\cos^2 x} - 16$$

Преобразуем выражение для производной: $$y' = 16\left(\frac{1}{\cos^2 x} - 1\right) = 16\left(\frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x}\right) = 16\left(\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\right) = 16\tan^2 x$$

Производная $y' = 16\tan^2 x \geq 0$ при всех $x$ из области определения. На отрезке $\left[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}\right]$ функция не имеет критических точек (производная нулевая только при $\tan x = 0$, что дополнительно проверяется, но на концах отрезка функция монотонна). Поскольку производная неотрицательна, функция возрастает на всём отрезке.

Следовательно, наибольшее значение достигается на правом конце отрезка при $x = \frac{\pi}{4}$:

$$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 16\tan\frac{\pi}{4} - 16 \cdot \frac{\pi}{4} + 4\pi - 5$$

Подставим $\tan\frac{\pi}{4} = 1$: $$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 16 \cdot 1 - 4\pi + 4\pi - 5 = 16 - 5 = 11$$