Задача 26706. Исследование тригонометрических функций

Шаг 1. Найдём производную функции.

Дана функция $y = 3x - 3\tan x - 5$.

Производная: $y' = 3 - 3 \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$

Это следует из того, что $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$, а $(3x)' = 3$ и $(-5)' = 0$.

Шаг 2. Упростим производную.

$$y' = 3 - \frac{3}{\cos^2 x} = 3\left(1 - \frac{1}{\cos^2 x}\right) = -3\left(\frac{1}{\cos^2 x} - 1\right)$$

Пользуясь основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем: $$\frac{1}{\cos^2 x} - 1 = \frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \tan^2 x$$

Следовательно: $y' = -3\tan^2 x$

Шаг 3. Определим знак производной на отрезке.

На отрезке $\left[0; \frac{\pi}{4}\right]$ имеем $\tan^2 x \geq 0$, поэтому $y' = -3\tan^2 x \leq 0$ везде (равна нулю только в точке $x = 0$).

Отрицательная производная означает, что функция убывает на этом отрезке.

Шаг 4. Найдём наибольшее значение.

Поскольку функция убывает, её наибольшее значение достигается в левом конце отрезка — в точке $x = 0$:

$$y(0) = 3 \cdot 0 - 3\tan 0 - 5 = 0 - 0 - 5 = -5$$