Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование тригонометрических функций

Шаг 1. Найдём производную функции.

$$y' = 5\cos x + \frac{24}{\pi}$$

Производная линейной функции $\frac{24}{\pi}x$ равна константе $\frac{24}{\pi}$, а производная синуса — косинус.

Шаг 2. Анализируем знак производной.

Найдём, может ли $y' = 0$: $$5\cos x + \frac{24}{\pi} = 0$$ $$\cos x = -\frac{24}{5\pi}$$

Поскольку $\pi \approx 3,14$, получаем $\frac{24}{5\pi} \approx 1,53 > 1$. Это невозможно, так как косинус не превышает 1 по модулю.

Следовательно, $y' > 0$ при всех $x$ (косинус изменяется от $-1$ до $1$, а $\frac{24}{\pi} \approx 7,6$, поэтому сумма всегда положительна).

Шаг 3. Определяем монотонность.

Если производная положительна на всём отрезке, функция строго возрастает. Значит, наименьшее значение достигается на левом конце отрезка.

Шаг 4. Вычисляем значение в левой точке.

$$y\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = 5\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right) + \frac{24}{\pi} \cdot \left(-\frac{5\pi}{6}\right) + 6$$

Вычислим каждое слагаемое:

• $\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = -\sin\frac{5\pi}{6} = -\sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$
• $5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -2,5$
• $\frac{24}{\pi} \cdot \left(-\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{24 \cdot 5}{6} = -20$

Итого: $$y\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = -2,5 - 20 + 6 = -16,5$$