Задача 26703. Исследование тригонометрических функций

Шаг 1. Найдём производную функции.

Для функции $y = 5\tan x - 5x + 6$ берём производную каждого слагаемого:

• производная $5\tan x$ равна $5 \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$
• производная $5x$ равна $5$
• производная константы $6$ равна $0$

Получаем: $y' = \frac{5}{\cos^2 x} - 5$

Шаг 2. Упростим производную.

Вынесем общий множитель $5$: $$y' = 5\left(\frac{1}{\cos^2 x} - 1\right)$$

Преобразуем скобку, приведя к общему знаменателю: $$\frac{1}{\cos^2 x} - 1 = \frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \tan^2 x$$

Следовательно: $y' = 5\tan^2 x$

Шаг 3. Определим монотонность на отрезке.

Так как $\tan^2 x \geq 0$ для всех $x$ в области определения, то $y' = 5\tan^2 x \geq 0$ на всём отрезке $\left[0; \frac{\pi}{4}\right]$.

Это означает, что функция возрастает (или остаётся постоянной в отдельных точках) на этом отрезке.

Шаг 4. Найдём наименьшее значение.

Для возрастающей функции наименьшее значение достигается в левой границе отрезка — при $x = 0$: $$y(0) = 5\tan 0 - 5 \cdot 0 + 6 = 5 \cdot 0 - 0 + 6 = 6$$

Ответ: $6$