Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование тригонометрических функций

Шаг 1. Найдём производную функции.

Дана функция $y = (2x - 3)\cos x - 2\sin x + 5$.

Применяем правило произведения для первого слагаемого: $$y' = (2x - 3)' \cdot \cos x + (2x - 3) \cdot (\cos x)' - 2\cos x$$ $$y' = 2\cos x - (2x - 3)\sin x - 2\cos x$$ $$y' = (3 - 2x)\sin x$$

Шаг 2. Найдём критические точки.

Производная равна нулю, когда $(3 - 2x)\sin x = 0$.

Это происходит при $\sin x = 0$ или $3 - 2x = 0$.

На промежутке $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$ синус всегда положителен (первая четверть), поэтому $\sin x \neq 0$.

Остаётся: $3 - 2x = 0 \Rightarrow x = 1,5$.

Эта точка принадлежит промежутку $(0; \frac{\pi}{2}) \approx (0; 1,57)$.

Шаг 3. Определим знак производной.

При $0 < x < 1,5$: множитель $\sin x > 0$, множитель $(3 - 2x) > 0$, значит $y' > 0$ — функция возрастает.

При $1,5 < x < \frac{\pi}{2}$: множитель $\sin x > 0$, но $(3 - 2x) < 0$, значит $y' < 0$ — функция убывает.

Производная меняет знак с плюса на минус, поэтому $x = 1,5$ — точка максимума.