Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование тригонометрических функций

Чтобы найти точку минимума, вычислим производную функции $y = (0,5 - x)\cos x + \sin x$.

Применяем правило произведения и суммы: $$y' = -\cos x + (0,5 - x) \cdot (-\sin x) + \cos x = -(0,5 - x)\sin x = (x - 0,5)\sin x$$

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю: $$(x - 0,5)\sin x = 0$$

Это уравнение имеет решения при $x = 0,5$ или $\sin x = 0$.

Для $\sin x = 0$ на интервале $(0; \frac{\pi}{2})$ решений нет (синус положителен на этом промежутке, обращается в нуль только на границах).

Отсюда единственная критическая точка: $x = 0,5$.

Проверим знаки производной на промежутке $(0; \frac{\pi}{2})$:

• На $(0; 0,5)$: множитель $(x - 0,5) < 0$, а $\sin x > 0$, поэтому $y' < 0$ — функция убывает.
• На $(0,5; \frac{\pi}{2})$: множитель $(x - 0,5) > 0$, а $\sin x > 0$, поэтому $y' > 0$ — функция возрастает.

Производная меняет знак с минуса на плюс, значит $x = 0,5$ — точка минимума.