Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование тригонометрических функций

Начнём с нахождения производной функции $y = (2x - 3)\cos x - 2\sin x + 2$.

Применим правило произведения для первого слагаемого: $$y' = 2\cos x + (2x - 3)(-\sin x) - 2\cos x = (2x - 3)(-\sin x) = (3 - 2x)\sin x$$

Треть слагаемого $2\cos x$ и $-2\cos x$ сократились, поэтому остаётся: $$y' = (3 - 2x)\sin x$$

Теперь найдём критические точки, приравняв производную к нулю: $$(3 - 2x)\sin x = 0$$

Это выполняется, когда $\sin x = 0$ или $3 - 2x = 0$.

На промежутке $(0; 2\pi)$:

• $\sin x = 0$ при $x = \pi$
• $3 - 2x = 0$ при $x = 1,5$

Оба значения лежат в нашем промежутке.

Определим знаки производной в каждом интервале:

На $(0; 1,5)$: берём $x = 0,5$. Имеем $3 - 2(0,5) = 2 > 0$ и $\sin(0,5) > 0$, значит $y' > 0$ — функция возрастает.

На $(1,5; \pi)$: берём $x = 2$. Имеем $3 - 2(2) = -1 < 0$ и $\sin(2) > 0$, значит $y' < 0$ — функция убывает.

На $(\pi; 2\pi)$: берём $x = 5$. Имеем $3 - 2(5) = -7 < 0$ и $\sin(5) < 0$, значит $y' > 0$ — функция возрастает.

Производная меняет знак с положительного на отрицательный только в точке $x = 1,5$. Это точка максимума.