ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 12Исследование тригонометрических функций

Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование тригонометрических функций

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 123.2.1 Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания3.2.5 Точки экстремума функции

Найдите наибольшее значение функции y=4 косинус x минус 20x плюс 7 на отрезке левая квадратная скобка 0}; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

В подтеме 29 задач
Разбор
Главная идея: Производная отрицательна при всех значениях аргумента, поэтому функция монотонно убывает, и максимум находится в левой границе интервала.

Шаг 1. Находим производную функции.

Дана функция y=4cos⁡x−20x+7y = 4\cos x - 20x + 7.

Производная: y′=−4sin⁡x−20y' = -4\sin x - 20.

Шаг 2. Исследуем знак производной.

Проверим, может ли y′=0y' = 0: −4sin⁡x−20=0-4\sin x - 20 = 0 sin⁡x=−5\sin x = -5

Это уравнение не имеет решений, так как синус принимает значения только на отрезке [−1;1][-1; 1].

Шаг 3. Определяем монотонность.

Так как sin⁡x∈[−1;1]\sin x \in [-1; 1], то −4sin⁡x∈[−4;4]-4\sin x \in [-4; 4]. Следовательно: y′=−4sin⁡x−20∈[−24;−16]y' = -4\sin x - 20 \in [-24; -16]

Производная всегда отрицательна на всей области определения. Это значит, функция строго убывает на отрезке [0;3π2][0; \frac{3\pi}{2}].

Шаг 4. Найдём наибольшее значение.

Для убывающей функции наибольшее значение достигается на левом конце отрезка, то есть в точке x=0x = 0: y(0)=4cos⁡0−20⋅0+7=4⋅1+0+7=11y(0) = 4\cos 0 - 20 \cdot 0 + 7 = 4 \cdot 1 + 0 + 7 = 11

Типичные ошибки

  • Забыли, что sin⁡x\sin x ограничен на [−1;1][-1; 1] и неправильно сделали вывод о решениях уравнения y′=0y' = 0
  • Вычислили производную неверно: потеряли минус или неправильно дифференцировали линейный член
  • Нашли критические точки внутри отрезка, но не учли, что их нет, и проверили значения не в концах отрезка
Непонятно?

Похожие задачи