Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование тригонометрических функций

Шаг 1: Найдём производную функции.

Дана функция $y = 13x - 9\sin x + 9$. Берём производную от каждого слагаемого:

• производная от $13x$ равна $13$
• производная от $-9\sin x$ равна $-9\cos x$
• производная от $9$ равна $0$

Получаем: $y' = 13 - 9\cos x$

Шаг 2: Определим знак производной.

Нужно понять, может ли производная быть нулевой. Уравнение $13 - 9\cos x = 0$ приводит к $\cos x = \frac{13}{9}$. Но косинус никогда не превышает $1$, а $\frac{13}{9} \approx 1,44 > 1$. Значит, уравнение не имеет решений.

Шаг 3: Проверим знак производной на отрезке.

Поскольку $\cos x \leq 1$ для всех $x$, то $-9\cos x \geq -9$, следовательно $y' = 13 - 9\cos x \geq 13 - 9 = 4 > 0$ на всём отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$.

Производная всегда положительна, значит функция строго возрастает на этом отрезке.

Шаг 4: Найдём наименьшее значение.

Для возрастающей функции наименьшее значение на отрезке достигается в левом конце, то есть при $x = 0$:

$$y(0) = 13 \cdot 0 - 9\sin 0 + 9 = 0 - 0 + 9 = 9$$