Задача 77495. Исследование тригонометрических функций

Шаг 1. Найдём производную

$$y' = -14 + \frac{7}{\cos^2 x}$$

Преобразуем, используя формулу $\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$ или работаем напрямую:

$$y' = \frac{7 - 14\cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{-7(2\cos^2 x - 1)}{\cos^2 x} = \frac{-7\cos 2x}{\cos^2 x}$$

Использовали формулу двойного угла: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$.

Шаг 2. Найдём критические точки

Производная равна нулю, когда $\cos 2x = 0$ (знаменатель не обращается в нуль на данном отрезке).

$$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$$

На отрезке $\left[-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}\right]$ лежат точки: $x = -\frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{\pi}{4}$.

Шаг 3. Проверим знаки производной

Анализ показывает, что функция убывает на $\left[-\frac{\pi}{3}; -\frac{\pi}{4}\right]$, возрастает на $\left[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}\right]$ и убывает на $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3}\right]$.

Минимум может быть либо на левой границе, либо в точке $x = \frac{\pi}{4}$.

Шаг 4. Вычислим значения в кандидатах

При $x = \frac{\pi}{4}$: $\tan\frac{\pi}{4} = 1$

$$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = -14 \cdot \frac{\pi}{4} + 7 \cdot 1 + \frac{7\pi}{2} + 11 = -\frac{7\pi}{2} + 7 + \frac{7\pi}{2} + 11 = 18$$

При $x = -\frac{\pi}{3}$: $\tan\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}$

$$y\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{14\pi}{3} - 7\sqrt{3} + \frac{7\pi}{2} + 11 \approx 14.7 - 12.1 + 11 + 11 > 21$$

Наименьшее значение: 18.