Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование тригонометрических функций

Шаг 1. Найдём производную функции.

Для $y = -2\tan x + 4x - \pi - 3$ вычисляем: $$y' = -\frac{2}{\cos^2 x} + 4$$

Преобразуем, приведя к общему знаменателю: $$y' = \frac{-2 + 4\cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{2(2\cos^2 x - 1)}{\cos^2 x}$$

Успользуем формулу двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$: $$y' = \frac{2\cos 2x}{\cos^2 x}$$

Шаг 2. Найдём критические точки на отрезке.

Производная обнуляется при $\cos 2x = 0$: $$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$$

На отрезке $\left[-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}\right]$ находятся точки $x = -\frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{\pi}{4}$.

Шаг 3. Вычислим значения на концах и в критических точках.

Анализируя знак производной, видим, что функция растёт до $x = \frac{\pi}{4}$, затем убывает. Максимум достигается либо в левом конце, либо в $x = \frac{\pi}{4}$.

При $x = \frac{\pi}{4}$: $\tan \frac{\pi}{4} = 1$ $$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = -2 \cdot 1 + 4 \cdot \frac{\pi}{4} - \pi - 3 = -2 + \pi - \pi - 3 = -5$$

При $x = -\frac{\pi}{3}$: $\tan\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}$ $$y\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -2(-\sqrt{3}) - \frac{4\pi}{3} - \pi - 3 = 2\sqrt{3} - \frac{7\pi}{3} - 3 \approx -10,4$$

Значение $-5$ больше.