Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование тригонометрических функций

Шаг 1. Найдём производную функции.

Дана функция $y = 4x - 4\tan x + 12$.

Вычислим производную: $$y' = 4 - 4 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = 4 - \frac{4}{\cos^2 x}$$

Это следует из того, что производная тангенса равна $\frac{1}{\cos^2 x}$.

Шаг 2. Упростим производную.

Приведём к общему знаменателю: $$y' = \frac{4\cos^2 x - 4}{\cos^2 x} = \frac{4(\cos^2 x - 1)}{\cos^2 x}$$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем $\cos^2 x - 1 = -\sin^2 x$: $$y' = \frac{-4\sin^2 x}{\cos^2 x} = -4\tan^2 x$$

Шаг 3. Анализируем монотонность.

Так как $\tan^2 x \geq 0$ для всех $x$ в области определения, то $y' = -4\tan^2 x \leq 0$ на всём отрезке $\left[-\frac{\pi}{4}; 0\right]$.

Это означает, что функция убывает на этом отрезке.

Шаг 4. Найдём минимум.

Для убывающей функции на отрезке наименьшее значение достигается на правом конце отрезка, то есть при $x = 0$: $$y(0) = 4 \cdot 0 - 4\tan 0 + 12 = 0 - 0 + 12 = 12$$