Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование тригонометрических функций

Шаг 1: Найдём производную.

Для функции $y = 7\cos x + 16x - 2$ вычислим производную: $$y' = -7\sin x + 16$$

Это следует из того, что производная косинуса равна $-\sin x$, производная линейной функции $16x$ равна $16$, а константа $-2$ исчезает.

Шаг 2: Исследуем знак производной.

Проверим, может ли $y' = 0$: $$-7\sin x + 16 = 0$$ $$\sin x = \frac{16}{7}$$

Поскольку синус никогда не превышает $1$, а $\frac{16}{7} \approx 2,29 > 1$, это уравнение решений не имеет.

Так как $\sin x \leq 1$ для любого $x$, то $-7\sin x \geq -7$, и поэтому: $$y' = -7\sin x + 16 \geq -7 + 16 = 9 > 0$$

Производная всегда положительна на отрезке $\left[-\frac{3\pi}{2}; 0\right]$.

Шаг 3: Определяем монотонность.

Поскольку $y' > 0$ везде, функция строго возрастает на данном отрезке.

Шаг 4: Находим максимум.

Для возрастающей функции наибольшее значение достигается на правом конце отрезка, то есть при $x = 0$: $$y(0) = 7\cos 0 + 16 \cdot 0 - 2 = 7 \cdot 1 + 0 - 2 = 5$$