Задача 26709. Исследование тригонометрических функций

Шаг 1. Найдём производную функции.

Для функции $y = 14x - 7\tan x - 3.5\pi + 11$ вычислим производную: $$y' = 14 - 7 \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$$

Преобразуем, используя двойной угол. Заметим, что $2\cos^2 x - 1 = \cos 2x$, поэтому $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$. После упрощения: $$y' = \frac{7\cos 2x}{\cos^2 x}$$

Шаг 2. Найдём критические точки.

Производная равна нулю, когда $\cos 2x = 0$: $$2x = \pm\frac{\pi}{2}$$ $$x = \pm\frac{\pi}{4}$$

Обе точки принадлежат отрезку $[-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}]$.

Шаг 3. Определим характер критических точек.

Анализируя знак производной: при $x \in [-\frac{\pi}{3}; -\frac{\pi}{4})$ имеем $y' < 0$ (убывание), при $x \in (-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4})$ имеем $y' > 0$ (возрастание), при $x \in (\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3}]$ имеем $y' < 0$ (убывание). Значит, $x = -\frac{\pi}{4}$ — локальный минимум, $x = \frac{\pi}{4}$ — локальный максимум.

Шаг 4. Вычислим значения на концах и в критических точках.

Для $x = \frac{\pi}{4}$: $$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 14 \cdot \frac{\pi}{4} - 7\tan\frac{\pi}{4} - 3.5\pi + 11 = \frac{7\pi}{2} - 7 - 3.5\pi + 11 = 4$$

Для $x = -\frac{\pi}{3}$: $$y\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{14\pi}{3} - 7\tan\left(-\frac{\pi}{3}\right) - 3.5\pi + 11 = -\frac{14\pi}{3} + 7\sqrt{3} - 3.5\pi + 11$$

Это значение отрицательное (примерно $-17$).

Шаг 5. Сравним значения.

Численно $y(\frac{\pi}{4}) = 4 > y(-\frac{\pi}{3})$. Поэтому максимум на отрезке равен 4.