Задача 26705. Исследование тригонометрических функций

Шаг 1. Найдём производную функции.

Дана функция $y = 4\tan x - 4x - \pi + 5$.

Производная каждого слагаемого:

• производная $4\tan x$ равна $\frac{4}{\cos^2 x}$;
• производная $-4x$ равна $-4$;
• производные констант равны нулю.

Получаем: $$y' = \frac{4}{\cos^2 x} - 4$$

Шаг 2. Упростим производную.

Вынесем 4 за скобки: $$y' = 4\left(\frac{1}{\cos^2 x} - 1\right)$$

Вспомним основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, откуда $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$.

Поэтому: $$\frac{1}{\cos^2 x} - 1 = \frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \tan^2 x$$

Таким образом: $$y' = 4\tan^2 x$$

Шаг 3. Определим знак производной.

Производная $y' = 4\tan^2 x \geq 0$ при всех $x$, где тангенс определён. На отрезке $\left[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}\right]$ тангенс определён всюду, и производная неотрицательна.

Это означает, что функция возрастает на всём отрезке.

Шаг 4. Найдём минимальное значение.

Для возрастающей функции минимум достигается на левом конце отрезка, в точке $x = -\frac{\pi}{4}$.

Вычислим значение: $$y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 4\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) - 4 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) - \pi + 5$$

Поскольку $\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1$: $$y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 4 \cdot (-1) + \pi - \pi + 5 = -4 + 5 = 1$$