Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование тригонометрических функций

Шаг 1. Найдём производную функции.

Дана функция $y = 3 - \frac{5\pi}{4} + 5x - 5\sqrt{2}\sin x$.

Производная по $x$: $$y'(x) = 5 - 5\sqrt{2}\cos x$$

Константные слагаемые $3$ и $-\frac{5\pi}{4}$ исчезают, производная от $5x$ равна $5$, а производная от $-5\sqrt{2}\sin x$ равна $-5\sqrt{2}\cos x$.

Шаг 2. Найдём критические точки на отрезке.

Приравняем производную к нулю: $$5 - 5\sqrt{2}\cos x = 0$$ $$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

На отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$ уравнение $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ имеет единственное решение: $x = \frac{\pi}{4}$.

Шаг 3. Определим характер экстремума.

На отрезке $[0; \frac{\pi}{4})$ косинус больше $\frac{\sqrt{2}}{2}$, поэтому $y' < 0$ — функция убывает.

На отрезке $(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}]$ косинус меньше $\frac{\sqrt{2}}{2}$, поэтому $y' > 0$ — функция возрастает.

Таким образом, в точке $x = \frac{\pi}{4}$ находится локальный минимум.

Шаг 4. Вычислим значение функции в критической точке.

Подставим $x = \frac{\pi}{4}$: $$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 3 - \frac{5\pi}{4} + 5 \cdot \frac{\pi}{4} - 5\sqrt{2}\sin\frac{\pi}{4}$$

Так как $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 3 - \frac{5\pi}{4} + \frac{5\pi}{4} - 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$= 3 - 5 \cdot \frac{2}{2} = 3 - 5 = -2$$

Поскольку минимум находится внутри отрезка, это и есть наименьшее значение функции на $[0; \frac{\pi}{2}]$.