Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование тригонометрических функций

Шаг 1. Найдём производную.

$$y' = 2 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} - 4$$

Преобразуем, приведя к общему знаменателю: $$y' = \frac{2 - 4\cos^2 x}{\cos^2 x}$$

В числителе вынесем −2 и используем формулу $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$: $$y' = \frac{-2(2\cos^2 x - 1)}{\cos^2 x} = \frac{-2\cos 2x}{\cos^2 x}$$

Производная существует на всём отрезке, так как $\cos x \neq 0$ при $x \in [-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}]$.

Шаг 2. Найдём критические точки.

Уравнение $y' = 0$ равносильно $\cos 2x = 0$.

На отрезке $[-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}]$ имеем $2x \in [-\frac{2\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}]$.

В этом диапазоне косинус обращается в нуль при $2x = -\frac{\pi}{2}$ и $2x = \frac{\pi}{2}$, откуда: $$x = -\frac{\pi}{4}, \quad x = \frac{\pi}{4}$$

Обе точки лежат внутри отрезка.

Шаг 3. Определим тип экстремумов.

Анализируя знак $y' = \frac{-2\cos 2x}{\cos^2 x}$: в точке $x = -\frac{\pi}{4}$ производная меняет знак с минуса на плюс (локальный минимум), в точке $x = \frac{\pi}{4}$ — с плюса на минус (локальный максимум).

Шаг 4. Вычислим значения на концах и в критических точках.

Вычислять на левом конце нет необходимости (он заведомо больше). Найдём:

$$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2\tan\frac{\pi}{4} - 4 \cdot \frac{\pi}{4} + \pi - 3 = 2 \cdot 1 - \pi + \pi - 3 = -1$$

Ответ: наименьшее значение функции равно −1.